Szereg harmoniczny: dlaczego jedna struna brzmi jak wiele
Szarpnij jedną strunę gitary albo naciśnij jeden klawisz fortepianu, a powiesz, że usłyszałeś jeden dźwięk. Usłyszałeś sześć albo więcej. Te dodatkowe są ciche, wszystkie leżą powyżej dźwięku, o który prosiłeś, a ucho skleja je w jedno brzmienie, zamiast meldować o każdym z osobna — ale one tam są, dają się zmierzyć, a kiedy już wiesz, czym są, kilka rzeczy w muzyce, które wyglądają na arbitralne, przestaje tak wyglądać.
Struna drga na kilka sposobów naraz
Napięta struna zamocowana na obu końcach może kołysać się jako jeden długi łuk i ten najwolniejszy ruch daje dźwięk, który nazywasz — ton podstawowy. Nic jej jednak nie broni drgać jednocześnie dwiema połowami, z punktem nieruchomym pośrodku, albo trzema częściami, albo czterema. Robi to wszystko równocześnie, a każdy z tych szybszych ruchów wydaje własny dźwięk.
Te dodatkowe dźwięki to składowe harmoniczne, a cały stos to szereg harmoniczny. Szereg wart jest poznania dlatego, że częstotliwości nie są w nim rozrzucone przypadkowo: ruch połówek drga dokładnie dwa razy szybciej niż całość, ruch trzecich części dokładnie trzy razy szybciej, ćwiartek — cztery. Wielokrotności liczb całkowitych, bez wyjątków, aż do samej góry.
Jakie dźwięki się pojawiają i w jakiej kolejności
Ponieważ mnożniki są liczbami całkowitymi, dźwięki są zawsze takie same względem tonu podstawowego, niezależnie od tego, od czego zaczniesz. Oto dół szeregu nad pustą piątą struną gitary, czyli nad A o częstotliwości 110 Hz:
| Składowa | Częstotliwość | Dźwięk | Odległość od tonu podstawowego |
|---|---|---|---|
| 1 | 110 Hz | A | — to jest ton podstawowy |
| 2 | 220 Hz | A | oktawa |
| 3 | 330 Hz | E | oktawa i kwinta |
| 4 | 440 Hz | A | dwie oktawy |
| 5 | 550 Hz | Cis | dwie oktawy i tercja wielka |
| 6 | 660 Hz | E | dwie oktawy i kwinta |
Przeczytaj kilka pierwszych wierszy, a coś powinno rzucić się w oczy. Szereg podaje ci, po kolei i bez pytania: oktawę, potem kwintę, potem tercję wielką. To dokładnie dźwięki akordu durowego i pojawiają się w tej kolejności wprost z fizyki jednej struny, zanim ktokolwiek cokolwiek postanowił.
Dwa uczciwe zastrzeżenia, bo tabela jest bardziej uporządkowana niż świat. Wyższe składowe oddalają się od dźwięków na klawiaturze — piąta składowa jest o mniej więcej jedną siódmą półtonu niżej niż Cis, który byś zagrał, a siódma składowa, pominięta powyżej, leży tak nisko względem G, że żaden klawisz instrumentu naprawdę jej nie odpowiada. A interwały, do których faktycznie nastrojony jest twój instrument, są celowo o włos przesunięte względem tych proporcji, z powodów, które należą do znacznie późniejszej lekcji.
Jak tego posłuchać
Nie musisz przyjmować niczego z tego na wiarę — możesz to sprawdzić dziś, na dwa sposoby.
Jeśli masz gitarę albo bas, wystarczy jeden palec. Połóż opuszek lekko na piątej strunie dokładnie nad dwunastym progiem — dotykając struny, a nie dociskając jej do gryfu — szarpnij i unieś palec:
Zabrzmi cienkie, dzwonkowe A oktawę powyżej pustej struny. Twój palec znalazł się dokładnie w połowie długości i zatrzymał ruch całej struny, zostawiając ruch połówek — drugą składową — brzmiący samotnie. Był tam już wcześniej, zanim dotknąłeś struny. Ta sama sztuczka działa nad siódmym progiem, gdzie dostajesz trzecią składową, i nad piątym progiem, gdzie dostajesz czwartą.
Drugi sposób to posłuchanie interwałów na tej stronie. Każdy dźwięk, który słyszysz w tych ćwiczeniach, jest budowany, a nie nagrany, a fortepian w szczególności składa się z nawet dwudziestu składowych naraz, z których każda wygasa nieco szybciej niż ta poniżej — czyli z szeregu harmonicznego, złożonego celowo, bo właśnie tym jest fortepian. Lekcja o kształceniu słuchu odtwarza interwały do nazwania, a oktawa i kwinta to dwie z pierwszych rzeczy, o które pyta.
Dlaczego niektóre interwały brzmią konsonansowo
Teraz nagroda, i to jest powód, dla którego ta lekcja siedzi w module teorii, a nie w module fizyki.
Zagraj dwa dźwięki oddalone o oktawę, A o częstotliwości 110 i A o częstotliwości 220. Składowe wyższego dźwięku to 220, 440, 660 — każda z nich już jest w szeregu dźwięku niższego. Nic nowego się nie pojawia i nic się nie zderza. Trudno o większą zgodność między dwoma różnymi dźwiękami i dlatego oktawa jest tym jednym interwałem, który — jak się zdaje — odnalazła każda kultura muzyczna.
Teraz kwinta, A o częstotliwości 110 przeciw E o częstotliwości 165. E wnosi 165, 330, 495, 660; A miało już 330 i 660. Mniej wspólnych składowych niż w oktawie, wciąż sporo, a te niewspólne leżą wygodnie daleko od siebie. Brzmi to stabilnie i otwarcie, i jest to interwał, który lekcja o interwałach nazwała stabilną ramą.
Teraz dwa dźwięki oddalone o półton, 110 i mniej więcej 116,5. Ich składowe wypadają tak: 110 przeciw 116,5, 220 przeciw 233, 330 przeciw 350 — pary oddalone o kilka herców, i tak przez cały stos. Dwa tak bliskie dźwięki nie zlewają się; dudnią o siebie nawzajem, a bardzo wiele takich dudnień naraz słyszymy jako szorstkość. Ta szorstkość to w dużej mierze to, na co wskazuje słowo dysonansowy.
Reguła praktyczna, która z tego wynika: im prostszy stosunek częstotliwości dwóch dźwięków, tym więcej składowych dzielą i tym gładziej brzmią. Oktawa to 2:1, kwinta 3:2, tercja wielka 5:4, a półton to stosunek, w którym nie ma nic prostego.
To standardowe wyjaśnienie fizyczne i tłumaczy bardzo wiele, choć nie wszystko — sporo zależy też od tego, czego słuchacz nasłuchał się od dziecka, a interwały, które jedna epoka uznawała za nie do użycia, dziś są czymś zwyczajnym. Traktuj to jako powód, dla którego konsonans nie jest arbitralny, a nie jako ranking dozwolonych akordów.
Częste błędy, których warto unikać
- Liczenie alikwotów i składowych tak samo. Ton podstawowy jest pierwszą składową, ale nie jest w ogóle alikwotem, więc pierwszy alikwot to druga składowa. Dwa systemy, przesunięte o jeden; mów, który masz na myśli.
- Oczekiwanie, że usłyszy się składowe jako osobne dźwięki. Nie usłyszysz — i o to właśnie chodzi: twoje ucho stapia je w jedno brzmienie o pewnej barwie. Poprzednia lekcja nazwała tę barwę barwą dźwięku i właśnie stąd ona się bierze.
- Czytanie szeregu jako źródła gamy durowej. Daje ci oktawę, kwintę i tercję wielką, i to jest naprawdę sugestywne. Nie wydaje jednak siedmiu dźwięków, a gamy, które do niego nie pasują, nie są błędem.