De boventoonreeks: waarom één snaar als vele klinkt
Tokkel één gitaarsnaar aan, of druk één pianotoets in, en je zou zeggen dat je één toon hoorde. Je hoorde er zes of meer. De extra tonen zijn zacht, ze liggen allemaal boven de toon die je vroeg, en je oor smelt ze samen tot één klank in plaats van ze apart te melden — maar ze zijn er, ze zijn meetbaar, en zodra je weet wat ze zijn, houden een paar dingen in de muziek die willekeurig lijken op willekeurig te lijken.
Een snaar trilt op meerdere manieren tegelijk
Een gespannen snaar die aan beide kanten vastzit kan als één lange boog heen en weer zwaaien, en die traagste beweging is de toon die je benoemt — de grondtoon. Maar niets belet haar om tegelijkertijd ook in twee helften te trillen, met een stilstaand punt in het midden, of in drie delen, of in vier. Ze doet dat allemaal tegelijk, en elk van die snellere bewegingen maakt zijn eigen klank.
Die extra tonen zijn de boventonen, en de hele stapel heet de boventoonreeks. Wat die reeks de moeite van het leren waard maakt, is dat de frequenties niet zomaar verspreid liggen: de beweging over de halve lengte trilt precies twee keer zo snel als die over de hele, de derde precies drie keer zo snel, de kwart vier keer. Hele veelvouden, zonder uitzondering, helemaal naar boven toe.
Welke tonen eruit komen, en in welke volgorde
Doordat de vermenigvuldigers hele getallen zijn, zijn de tonen ten opzichte van de grondtoon altijd dezelfde, op welke toon je ook begint. Hier is de onderkant van de reeks boven de open vijfde snaar van de gitaar, A op 110 Hz:
| Deeltoon | Frequentie | Toon | Afstand boven de grondtoon |
|---|---|---|---|
| 1 | 110 Hz | A | — dit is de grondtoon |
| 2 | 220 Hz | A | een octaaf |
| 3 | 330 Hz | E | een octaaf plus een kwint |
| 4 | 440 Hz | A | twee octaven |
| 5 | 550 Hz | Cis | twee octaven plus een grote terts |
| 6 | 660 Hz | E | twee octaven plus een kwint |
Lees de eerste paar regels en er zou je iets moeten opvallen. De reeks geeft je, op volgorde en ongevraagd: het octaaf, dan de kwint, dan de grote terts. Dat zijn precies de tonen van een majeurakkoord, en ze komen in die volgorde uit de natuurkunde van één snaar rollen, nog voordat iemand ook maar iets besloten heeft.
Twee eerlijke kanttekeningen, want de tabel is netter dan de werkelijkheid. De hogere deeltonen drijven weg van de tonen op een klavier — de vijfde deeltoon is ongeveer een zevende halve toon lager dan de Cis die je zou spelen, en de zevende deeltoon, hierboven weggelaten, ligt zo veel lager dan G dat geen enkele toets op het instrument hem echt is. En de intervallen waarop je instrument werkelijk gestemd is, wijken met opzet een haartje van deze verhoudingen af, om redenen die bij een veel latere les horen.
Het horen
Je hoeft niets hiervan op goed geloof aan te nemen, en er zijn vandaag twee manieren om het te controleren.
Heb je een gitaar of een bas, dan kost dit één vinger. Leg een vingertop licht op de vijfde snaar, precies boven de twaalfde fret — de snaar aanraken, niet tot op het hout indrukken — tokkel, en til je vinger op:
Wat klinkt is een ijle, klokachtige A een octaaf boven de open snaar. Je vinger lag precies op het middelpunt en stopte de beweging over de hele lengte, waardoor de beweging in helften — de tweede deeltoon — alleen overbleef om te klinken. Die was er al voordat je de snaar aanraakte. Hetzelfde trucje werkt boven de zevende fret, waar je de derde deeltoon krijgt, en boven de vijfde fret voor de vierde.
De andere manier is naar intervallen op deze site luisteren. Elke toon die je in deze oefeningen hoort wordt opgebouwd in plaats van opgenomen, en de piano in het bijzonder wordt uit wel twintig deeltonen tegelijk samengesteld, die elk iets sneller uitdoven dan de deeltoon eronder — en dat is een boventoonreeks, met opzet in elkaar gezet, want dat is wat een piano is. De les gehoortraining speelt intervallen die jij mag benoemen, en een octaaf en een kwint zijn twee van de eerste dingen waar ze om vraagt.
Waarom sommige intervallen consonant klinken
Nu de opbrengst, en dat is meteen de reden dat deze les in de theoriemodule staat en niet in een natuurkundemodule.
Speel twee tonen op een octaaf afstand, A op 110 en A op 220. De deeltonen van de bovenste toon zijn 220, 440, 660 — en die zitten allemaal al in de reeks van de onderste toon. Er komt niets nieuws bij en er botst niets. Meer overeenstemming kunnen twee verschillende tonen nauwelijks hebben, en daarom is het octaaf het ene interval dat elke muziekcultuur blijkbaar gevonden heeft.
Nu de kwint, A op 110 tegen E op 165. De E draagt 165, 330, 495 en 660 bij; de A had 330 en 660 al. Minder gedeelde deeltonen dan bij het octaaf, nog steeds veel, en de tonen die níét gedeeld worden liggen comfortabel ver uit elkaar. Het klinkt stabiel en open, en het is het interval dat de les over intervallen een stabiel raamwerk noemde.
Nu twee tonen op een halve toon afstand, 110 en ongeveer 116,5. Hun deeltonen komen eruit als 110 tegen 116,5, 220 tegen 233, 330 tegen 350 — paren die een paar hertz uit elkaar liggen, de hele stapel door. Twee tonen die zo dicht bij elkaar liggen versmelten niet; ze zwevingen tegen elkaar in, en heel veel van die zwevingen tegelijk horen we als ruwheid. Die ruwheid is grotendeels waar het woord dissonant naar wijst.
De vuistregel die eruit volgt: hoe eenvoudiger de frequentieverhouding tussen twee tonen, hoe meer deeltonen ze delen, en hoe gladder ze klinken. Het octaaf is 2:1, de kwint 3:2, de grote terts 5:4, en een halve toon is een verhouding met niets eenvoudigs eraan.
Dit is de gangbare natuurkundige verklaring, en ze verklaart heel veel zonder alles te verklaren — waar een luisteraar mee is opgegroeid beslist ook een hoop, en intervallen die in het ene tijdperk als onbruikbaar golden zijn nu doodgewoon. Neem het als de reden dat consonantie niet willekeurig is, niet als een ranglijst van welke akkoorden mogen.
Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Boventonen en deeltonen op dezelfde manier tellen. De grondtoon is de eerste deeltoon, maar helemaal geen boventoon, dus de eerste boventoon is de tweede deeltoon. Twee systemen, eentje verschoven; zeg erbij welke je bedoelt.
- Verwachten dat je de boventonen als aparte tonen hoort. Dat doe je niet, en dat is nou juist het punt — je oor versmelt ze tot één klank met een kleur. De vorige les noemde die kleur timbre, en hier komt het vandaan.
- De reeks lezen als de oorsprong van de majeurtoonladder. Ze geeft je een octaaf, een kwint en een grote terts, en dat is werkelijk suggestief. Ze levert geen zeven tonen af, en toonladders die er niet mee overeenkomen zijn geen vergissingen.